Relaciones Simetricas Y Transitivas

Definiciones:

Simétrica: Si cuando un elemento está relacionado con un segundo elemento, el segundo también se relaciona con el primero, con símbolos: (∀ x)(∀ y) (x,y) ∈ R ⇒ (y,x) ∈ R

Antisimétrica: Si cuando un elemento está relacionado con un segundo elemento diferente, el segundo no se relaciona con el primero, con símbolos: (∀ x)(∀y) ((x,y) ∈ R ^ x ≠ y) ⇒ (y,x) ∉ R)

Transitiva: Si cuando un elemento está relacionado con un segundo elemento y el segundo está relacionado con un tercero, entonces el primero está relacionado con el tercero:

Como podemos ver para que una relación sea simétrica, siempre que un par está en R el par inverso debe también estar. sin embargo en la antisimétrica si un par está en la relación el par inverso n puede estar.

Relaciones Reflexivas

Una relación R en un conjunto es reflexiva si y sólo si la diagonal principal de la matriz asociada a la relación tiene únicamente unos.

De la misma forma es Antirreflexiva si tiene solamente ceros.

Una relación en A es

Reflexiva: Si todo elemento en A está relacionado con sigo mismo, con símbolos:
(∀ x ∈ A) (x,x) ∈ R

Antirreflexiva: Si ningún elemento en A está relacionado con sigo mismo, con símbolos:
(∀ x ∈ A) (x,x) ∉ R

Funciones Y Relaciones

Funcion:
Es la correspondencia de 2 conjuntos o elementos que se relacionana de 1 a 1

Relacion:

Es una relacion cuando es 2 o mas relacionados

Binomio de Newton

Vamos a deducir la fórmula que nos permitirá elevar a cualquier potencia de exponente natural, n, un binomio. Esto es la forma de obtener

 Para ello veamos cómo se van desarrollando las potencias de (a+b)

Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta secuencia que Se puede generalizar el binomio utilizando los llamados coeficientes combinatorios, representados habitualmente como  y que se pueden recordar a partir de la siguiente pirámide visual, llamada triángulo de Tartaglia o de Pascal

Formula Binomio de Newton:

Triángulo de Pascal y Binomio de Newtón

La fórmula general del llamado Binomio de Newton (a + b)n está formada por unos coeficientes que coinciden con la línea número n+1 del triángulo de Pascal (la que empieza por 1 y n).

Una forma de evitar tener que calcular uno a uno todos los coeficientes es utilizar el Triángulo de Pascal, ya que los coeficientes de la potencia n aparecen en la fila n+1 de dicho triángulo.

Un ejemplo: aplicando la fórmula y la definición de número combinatorio tendríamos:

          (a + b)3 = 1·a3 + 3·a2b + 3·ab2 + 1·b3.